Condensação de Cauchy

Quando vi neste Link a ideia de Condensação de Cauchy como um critério para verificar a convergência ou divergência o vídeo destaca o uso da técnica e não a técnica em si.

 

https://www.coursera.org/learn/advanced-calculus/lecture/0ssbL/does-sum-1-n-log-n-converge

 

Bem para verificarmos se uma série converge ou diverge podemos reagrupar os termos da seguinte forma:

 

 

Nova Imagem de Bitmap (2)

 

 

 

Este agrupamento faz sentido para série cujos termo geral é  não-negativo. Se a sequência do termo geral é decrescente o método da condensação de Cauchy nos fornece um belo  método para verificarmos a convergência ou divergência.

Por exemplo as séries

Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - CópiaNova Imagem de Bitmap (2) - Cópia e Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - Cópia - Cópia.

 

$$\Sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}$$, $$\Sum_2^\infty\frac{1}{n(\log n)^r}, r>1$$ e $$\Sum_2^\infty\frac{\log n}{n^2}$$.

 

Todas estas séries são verificadas através do teste da integral, mas o uso de um outro conteúdo não ajuda muito na argumentação Matemática onde os pilares são construídos a partir de uma base a mais simples possível.

 

Para o primeiro caso basta averiguar que

$a_n$ é positiva e decrescente, os termos iniciais não importam quando estamos verificando convergência.

 

AssimNova Imagem de Bitmap (3) - Cópia - Cópia - Cópia

Usando que $2^{k+1}-1>2^{k+1}$ obtemos o seguinte resultado

Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - Cópia - Cópia - Cópia

 

Para provar que as séries são convergentes utilizamos as estimativas inversas e deixo como exercício ao leitor.

 

Por comodidade vou incluir abaixo o código tex que gerei as imagens anteriores.

 

 

 

counterexamples-around-cauchy-condensation-test-imagemaxresdefault Cauchy Convergence test$$\sum_{n=1}^\infty a_n=\Sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}a_n$$

 

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}a_n$$

$$\displaystyle\sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}$$, $$\displaystyle\sum_2^\infty\frac{1}{n(\log n)^r}, r>1$$ e $$\displaystyle\sum_{2}^\infty\frac{\log n}{n^2}$$

$$\displaystyle \sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{n\log n}\geq\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{(2^{k+1}-1)\log(2^{k+1}-1)}$$
$$\geq\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{2^{k+1}\log 2^{k+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{2^{k+1}\log 2^{k+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)\log 2}=\frac{1}{2\log 2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+1}=\infty$$
 

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