Condensação de Cauchy

Quando vi neste Link a ideia de Condensação de Cauchy como um critério para verificar a convergência ou divergência o vídeo destaca o uso da técnica e não a técnica em si.

 

https://www.coursera.org/learn/advanced-calculus/lecture/0ssbL/does-sum-1-n-log-n-converge

 

Bem para verificarmos se uma série converge ou diverge podemos reagrupar os termos da seguinte forma:

 

 

Nova Imagem de Bitmap (2)

 

 

 

Este agrupamento faz sentido para série cujos termo geral é  não-negativo. Se a sequência do termo geral é decrescente o método da condensação de Cauchy nos fornece um belo  método para verificarmos a convergência ou divergência.

Por exemplo as séries

Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - CópiaNova Imagem de Bitmap (2) - Cópia e Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - Cópia - Cópia.

 

$$\Sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}$$, $$\Sum_2^\infty\frac{1}{n(\log n)^r}, r>1$$ e $$\Sum_2^\infty\frac{\log n}{n^2}$$.

 

Todas estas séries são verificadas através do teste da integral, mas o uso de um outro conteúdo não ajuda muito na argumentação Matemática onde os pilares são construídos a partir de uma base a mais simples possível.

 

Para o primeiro caso basta averiguar que

$a_n$ é positiva e decrescente, os termos iniciais não importam quando estamos verificando convergência.

 

AssimNova Imagem de Bitmap (3) - Cópia - Cópia - Cópia

Usando que $2^{k+1}-1>2^{k+1}$ obtemos o seguinte resultado

Nova Imagem de Bitmap (2) - Cópia - Cópia - Cópia - Cópia

 

Para provar que as séries são convergentes utilizamos as estimativas inversas e deixo como exercício ao leitor.

 

Por comodidade vou incluir abaixo o código tex que gerei as imagens anteriores.

 

 

 

counterexamples-around-cauchy-condensation-test-imagemaxresdefault Cauchy Convergence test$$\sum_{n=1}^\infty a_n=\Sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}a_n$$

 

$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}a_n$$

$$\displaystyle\sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}$$, $$\displaystyle\sum_2^\infty\frac{1}{n(\log n)^r}, r>1$$ e $$\displaystyle\sum_{2}^\infty\frac{\log n}{n^2}$$

$$\displaystyle \sum_2^\infty\frac{1}{n\log n}=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{n\log n}\geq\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{(2^{k+1}-1)\log(2^{k+1}-1)}$$
$$\geq\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{2^{k+1}\log 2^{k+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{2^{k+1}\log 2^{k+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)\log 2}=\frac{1}{2\log 2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+1}=\infty$$
 

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A criação dos Números a partir do Nada.

Como Pitágoras citava tudo é número, construir os números a partir do Nada é construir o tudo a partir do nada.

O conceito de número está diretamente ligado ao de conjunto. Os números Naturais IN e o Zero (que não é nada natural) podem ser construídos a partir dos conjuntos.

O verbete do dicionário Aurélio, onde diz que número é o conjunto de conjuntos equivalentes a um conjunto dado,  nos ajudará a construção dos números.

A construção dos números será feita  a partir do zero, do nada ou  do conjunto vazio.

Apesar de altamente difundidas pelo senso comum o zero e o nada são  entes abstratos que surgiram a partir de uma observação filosófica e até mesmo religiosa como o conceito do Nirvana no Budismo. Onde se esvazia a mente para limpá-la dos conceitos do mundo que a  afligem positiva ou negativamente. Sendo assim o conceito de zero ou nada veio bem mais abstratos que os números naturais que surgiram no homem primitivo que necessitava contar tanto as suas posses, como membros do grupo ou mesmo a passagem dos dias.

No entanto a construção filosófica, lógica e matemática não segue a que apareceu ao longo dos anos na Humanidade.Big Bang

Com o avanço do ceticismo que nega a própria existência das coisas que percebemos com nossos sentidos, pois segundo tal conceitos poderíamos estar inebriados ou imersos em algum sistema que pudesse nos enganar tal como a Matrix do filme da Cultura pop e toda a nossa percepção poderia nos enganar. Assim nos ateremos aos conceitos mais simples e universais que não possam depender de nossos sentidos, subjetividade ou mesmo idiossincrasias.

Sugiro como leitura complementar o Discurso do Método de René Descartes,  que poderá ser encontrado online em  tradução para nossa língua por Maria Ermantina Galvão, ou mesmo a versão original de   Le Discours de la Méthode.

Depois deste discurso de esvaziamento mental, podemos  começar com o zero o pelo menos o conjunto vazio.

Podemos supor então a existência do conjunto vazio e caracterizá-lo de diversas formas como o conjunto tal que

x∈Ø e x ∉ Ø

Em geral denotamos por duas chaves sem caracteres internos “{}” ou uma variante de φ como apresentada. Analisando  verbete de Aurélio  os conjuntos equivalentes ao conjunto vazio Ø é um número, resta-nos saber qual.

A equivalência aqui de conjuntos é quando há uma bijeção entre eles. Considerando as possibilidades podemos ver que o único conjunto equivalente ao vazio é o próprio Ø. Assim o conjuntos de conjuntos equivalentes é {Ø}. Isso mesmo um conjunto que tem unica e exclusivamente o conjunto vazio. E este número será o 0, ou seja,

0={Ø}

A unidade

Para a construção da unidade unidade deixo por enquanto para a reflexão do leitor.

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E compra e retirada de ingressos da Copa

E compra e retirada de ingressos  da Copa

Ultima quarta (4-Julho-14) a dona Fifa resolveu liberar mais alguns
ingressos que reapareceram de patrocinadores, cancelamentos de bloqueios e outros.
O fato é que havia uma suposta fila virtual. Isso mesmo suposta pq não havia um número
ou  algo semelhante que indicasse  posição  alguma na fila. 
Tentando comprar o ingresso
vi que posições na fila estavam longe de serem respeitadas e que por exemplo entrei e
sair na fila e fui chamado duas vezes enquanto outras pessoas ainda estavam a esperar,
o algoritmo era provavelmente randômico ou ou não conseguiu manter ordem alguma na fila
provavelmente vítima de vários ataques DDOS. 

Quanto a retirada do ingresso foi uma certa
tranquilidade
os voluntários brasileiros com certa eficiência além da quantidade adequada de trabalhadores.
O que faltou mesmo foi sinalização de placas indicativas, mas isto é sempre resolvido com o
contato com os nativos.
Muitos  fãs resolveram comprar ingressos com cartões de terceiros
apesar de ser uma regrinha que ninguém tem tempo de ler (exceto os desocupados que escrevem blogs) .
No entanto eles não estavam exigindo tal documento. Somente os comprovantes das meias-entradas
dos convidados (carteirinha, RG de Idosos, laudos de cadeirante, Cartão do NIS e outros) e
sempre Documento oficial com foto do comprador principal (RG, CNH e etc).

Enfim a copa apesar
de muito criticada, os principais ingressos se esgotaram rapidamente. Mostrando que o pão e
circo só não funciona se for pouco! Diversos protestos são apenas pela alta visibilidade do
Brasil durante a copa mas em tempos de era digital as imagens se espalham rapidamente e podem
tomar caminhos diversos!

Deixe seu comentário e impressão sobre este momento da copa!

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Facebooking Wolfram?

Well this may seems to be oddly but that is true. You know who can use your private data ? Only you? Well we all know that  NSA, Google, Flamengo cheers and others collect, process, investigate and even judge you by your data.

friends scattere all around the world

Well if you think that reading some emails, private message  is not too dangerous, quite difficult, boring or whatever, it is time to know better about the power of Maths, programming and mass information.

network

Well it is time to have fun and using mathematics, programming or just new cool apps.

Clearly if you think Wolfram, may use your data for some obscure spying or surveillance, be cool, fb already does Dat!

It is time to analyse or at least a little of your data!
What you have to do is go to

1. www.wolframalpha.com

2. type facebook

3. click on analyze my facebook data.

And voila you data are analyzed.

Showing for example from where are you friends in the world or in your country (first figure), your network (second one), your most liked posts and more.

This is how my friend are scattered around the world.

Or you can take a look at how connected are your friends and trace down the ones isolated or in small groups.

.

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Google x Wolfram>HP

É comum usarmos o Google para calcular raízes, gráficos e outros dados, com apenas um click. gráfico

Aqui por exemplo temos a função
$$f(x)=x^7-2x^6+3x^2-2x+5.$$

Um site que tem mais funções é o Wolfram, cujas propriedades vão além de calcular certos gráficos. Neste aplicativo podemos analisar algumas propriedades das funções, derivadas, integrais e outras propriedades. Wolfram exemplo.

O interessante é que Wolfram é um mini Google ou Wikipédia, com um adicional que tem as informações mais filtradas e confiáveis.
Neste contexto haverá também o MathWorld. O conteúdo do Wolfram é primordialmente oferecido em língua Inglesa o que pode causar alguma dificuldade inicialmente. Porém o cálculo das equações é basicamente direto e sem muitas palavras.

English: The wordmark of Wolfram Research

English: The wordmark of Wolfram Research (Photo credit: Wikipedia)

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Site sobre Piadas em Matemática

Olá gostaria de apresentar um site que contém diversas piadas sobre ciências mas com foco em matemática, citações famosas e muito mais. Maths Jokes

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Matemática para todos

Orbitastemporaiscool

 

Este site virá como mais uma alternativa de busca de informações. Não exatamente cálculos fechados, mas dicas de como buscar resolver problemas métodos de estudos e muito mais. Havendo alguma dificuldade pode ser corrigida ajudando entre os próprios participantes e etc…

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Test
$$\int f(x)dx $$
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